fractions Modülü: Tam Hassas Rasyonel Sayılar — 1/3 + 1/6 = 0.5 Kanıtla

Önce hatırlatma — niye var?#

• float:
  0.1
  saklanırken bozuluyor (binary'de sonsuz tekrar).
• Decimal:
  0.1
  tam ama
  1/3
  saklayamıyor (decimal'de de sonsuz tekrar: 0.333...).

from decimal import Decimal, getcontext

getcontext().prec = 30
print(Decimal(1) / Decimal(3))
# 0.333333333333333333333333333333    (28 hane, sonra kesiyor)

print(Decimal(1) / Decimal(3) * 3)
# 0.999999999999999999999999999999    (1.0 değil!)

from fractions import Fraction

print(Fraction(1, 3))            # 1/3
print(Fraction(1, 3) * 3)        # 1 — TAM!
print(Fraction(1, 3) + Fraction(1, 6))   # 1/2 — TAM!

Fraction oluşturma yolları#

from fractions import Fraction

# 1. İki integer (en yaygın)
a = Fraction(3, 4)         # 3/4
b = Fraction(1, 2)         # 1/2
c = Fraction(-5, 8)        # -5/8

# 2. String'den
d = Fraction("3/4")        # 3/4
e = Fraction("0.25")       # 1/4
f = Fraction("3.14")       # 157/50

# 3. Float'tan (DİKKAT — float precision sızıyor)
g = Fraction(0.1)          # 3602879701896397/36028797018963968   (!)
                            # float 0.1 saklanırken bozulduğu için Fraction da o
                            # bozuk değeri tam yansıtıyor

# Doğrusu:
h = Fraction("0.1")        # 1/10  (string'den temiz)
i = Fraction(1, 10)        # 1/10

# 4. Decimal'dan
from decimal import Decimal
j = Fraction(Decimal('0.1'))   # 1/10

# 5. Tek argüman = integer
k = Fraction(5)            # 5/1 = 5

# Kontrol attribute'ları
print(a.numerator)         # 3
print(a.denominator)       # 4
print(a)                    # 3/4
print(repr(a))              # Fraction(3, 4)

# Otomatik basitleştirme
Fraction(6, 8)              # Fraction(3, 4) — GCD 2, otomatik sadeleşti
Fraction(100, 25)           # Fraction(4, 1) = 4

Aritmetik — tam hassas#

from fractions import Fraction

a = Fraction(1, 3)
b = Fraction(1, 6)

# Toplama
print(a + b)               # 1/2

# Çıkarma
print(a - b)               # 1/6

# Çarpma
print(a * b)               # 1/18

# Bölme
print(a / b)               # 2 (Fraction(2, 1))

# Üs
print(a ** 2)              # 1/9
print(a ** -1)             # 3 (tersi)
print(a ** Fraction(1, 2)) # ~0.577 — float'a düşer (kare kök rasyonel değil)

# Karşılaştırma — tam doğru
print(Fraction(1, 3) == Fraction(2, 6))   # True (otomatik basitleştirme)
print(Fraction(1, 3) < Fraction(1, 2))    # True

# Float'la karışık
print(Fraction(1, 2) + 0.5)    # 1.0 (float dönüyor — Python promotion)
print(Fraction(1, 2) + Fraction(1, 2))   # 1 (Fraction kalıyor)

# Klasik 0.1 tuzağına Fraction çözümü
print(Fraction("0.1") + Fraction("0.2") == Fraction("0.3"))   # True!

Float ve Decimal'a dönüşüm#

from fractions import Fraction
from decimal import Decimal

f = Fraction(1, 3)

# Float'a (precision kaybeder, ama gösterim için OK)
print(float(f))            # 0.3333333333333333

# Int'e (truncation)
print(int(Fraction(7, 2))) # 3 (sıfıra doğru)

# Decimal'a doğrudan dönüşüm (3.10+)
print(Decimal(Fraction(1, 4)))   # 0.25
# print(Decimal(Fraction(1, 3)))   # InvalidOperation — sonsuz tekrar

# Decimal'a hassas dönüşüm
def fraction_to_decimal(f, precision=28):
    """Fraction → Decimal, ihtiyacın kadar precision ile."""
    from decimal import Decimal, getcontext
    with localcontext() as ctx:
        ctx.prec = precision
        return Decimal(f.numerator) / Decimal(f.denominator)

# String formatlama
f = Fraction(1, 3)
print(f"{float(f):.10f}")  # 0.3333333333
print(f"{f}")              # 1/3 — direkt repr

limit_denominator

— yaklaşık rasyonel#

import math

# π'nin rasyonel yaklaşımları
pi = Fraction(math.pi)
print(pi)                                  # 884279719003555/281474976710656 (uzun)

print(pi.limit_denominator(10))            # 22/7 — klasik π yaklaşımı (3.142...)
print(pi.limit_denominator(100))           # 311/99
print(pi.limit_denominator(1000))          # 355/113 — tarihsel olarak ünlü, çok hassas
print(pi.limit_denominator(10000))         # 355/113 (aynı — bu paydası ile aşılamıyor)
print(pi.limit_denominator(1000000))       # 3126535/995207

# 0.3333333... → 1/3
Fraction(0.3333333).limit_denominator(100)   # 1/3

Gerçek dünya 1: Müzik teorisi#

from fractions import Fraction

# Pisagor armonik aralıkları (just intonation)
INTERVALS = {
    "Unison":         Fraction(1, 1),     # Aynı nota
    "Minor 2nd":      Fraction(16, 15),   # 256/243 alternatif
    "Major 2nd":      Fraction(9, 8),     # Tam ton
    "Minor 3rd":      Fraction(6, 5),
    "Major 3rd":      Fraction(5, 4),     # En "yumuşak" armonik
    "Perfect 4th":    Fraction(4, 3),
    "Tritone":        Fraction(45, 32),
    "Perfect 5th":    Fraction(3, 2),     # En önemli — Pisagor'un keşfi
    "Minor 6th":      Fraction(8, 5),
    "Major 6th":      Fraction(5, 3),
    "Minor 7th":      Fraction(9, 5),
    "Major 7th":      Fraction(15, 8),
    "Octave":         Fraction(2, 1),     # Frekans iki katı
}

# A4 = 440 Hz başlangıç
A4 = 440

print(f"{'Aralık':<15} {'Oran':<10} {'Frekans (Hz)':<15} {'Cent':<8}")
print("-" * 50)
for name, ratio in INTERVALS.items():
    freq = A4 * float(ratio)
    cents = 1200 * math.log2(float(ratio))
    print(f"{name:<15} {str(ratio):<10} {freq:<15.2f} {cents:<8.1f}")

Aralık         Oran       Frekans (Hz)    Cent
--------------------------------------------------
Unison          1/1        440.00          0.0
Major 2nd       9/8        495.00          203.9
Major 3rd       5/4        550.00          386.3
Perfect 5th     3/2        660.00          702.0
Octave          2/1        880.00          1200.0

Gerçek dünya 2: Tarif ölçeklendirme#

from fractions import Fraction

class Recipe:
    def __init__(self, name, servings, ingredients):
        self.name = name
        self.servings = servings
        self.ingredients = ingredients   # list of (amount: Fraction, unit, name)

    def scale(self, target_servings):
        ratio = Fraction(target_servings, self.servings)
        new_ingredients = [
            (amount * ratio, unit, name)
            for amount, unit, name in self.ingredients
        ]
        return Recipe(self.name, target_servings, new_ingredients)

    def __repr__(self):
        lines = [f"=== {self.name} ({self.servings} kişi) ==="]
        for amount, unit, name in self.ingredients:
            # Fraction'ı güzel yazdır
            if amount.denominator == 1:
                amt_str = str(amount.numerator)
            else:
                whole = amount.numerator // amount.denominator
                remainder = Fraction(
                    amount.numerator % amount.denominator,
                    amount.denominator
                )
                if whole == 0:
                    amt_str = str(remainder)
                else:
                    amt_str = f"{whole} {remainder}"
            lines.append(f"  {amt_str} {unit} {name}")
        return "\n".join(lines)


# 6 kişilik kek tarifi
cake = Recipe("Çikolatalı kek", 6, [
    (Fraction(1, 3), "cup", "un"),
    (Fraction(2, 3), "cup", "şeker"),
    (Fraction(1, 2), "cup", "süt"),
    (Fraction(1, 4), "tsp", "tuz"),
    (Fraction(2, 1), None, "yumurta"),
    (Fraction(3, 4), "cup", "kakao"),
])

print(cake)
print()

# 4 kişiye ölçekle
print(cake.scale(4))
print()

# 9 kişiye ölçekle (büyütme)
print(cake.scale(9))

=== Çikolatalı kek (6 kişi) ===
  1/3 cup un
  2/3 cup şeker
  1/2 cup süt
  1/4 tsp tuz
  2 None yumurta
  3/4 cup kakao

=== Çikolatalı kek (4 kişi) ===
  2/9 cup un
  4/9 cup şeker
  1/3 cup süt
  1/6 tsp tuz
  1 1/3 None yumurta
  1/2 cup kakao

Karar matrisi: Fraction vs Decimal vs float#

• Para → Decimal.
• Bilim/AI/grafik/genel → float.
• Saf rasyonel matematik (cebir, geometri, müzik) → Fraction.
• Tam hassasiyet gerekiyor ama yuvarlama yok → Fraction.

Pratik: Olasılık hesabı tam fraction#

from fractions import Fraction

# Bir torbada 5 kırmızı, 3 mavi, 2 yeşil top
# Toplam 10 top

red = Fraction(5, 10)       # 1/2
blue = Fraction(3, 10)
green = Fraction(2, 10)     # 1/5

# Toplam olasılık 1 (kontrol)
print(red + blue + green)   # 1

# İki kırmızı top art arda (replacement-without)
two_red = Fraction(5, 10) * Fraction(4, 9)
print(two_red)              # 2/9 ≈ 0.222

# Kırmızı sonra yeşil
red_then_green = Fraction(5, 10) * Fraction(2, 9)
print(red_then_green)       # 1/9 ≈ 0.111

# En az bir kırmızı (3 atış, replacement)
no_red_3_throws = (Fraction(5, 10)) ** 3   # tüm 3 atışta non-red yok
                                           # = (1/2)^3 = 1/8
at_least_one_red = 1 - no_red_3_throws
print(at_least_one_red)     # 7/8

# Float yaklaşık
print(float(at_least_one_red))   # 0.875

# Kayıpsız hesap — bilim makalesinde "0.875 değil 7/8" demek istiyorsan, Fraction

Yaygın tuzaklar#

1.

Fraction(0.1)

yapma#

# 🚫
Fraction(0.1)   # Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)
                # float 0.1 saklanmış halini Fraction'a aktarıyor

# ✅
Fraction("0.1")     # Fraction(1, 10)
Fraction(1, 10)

2. Fraction'ı UI'da göstermek#

# 🚫 Para gösterimi
amount = Fraction(1, 3) * 100   # 100/3
print(amount)                    # 100/3 — UI'da "100/3 ₺"?

# ✅
print(f"{float(amount):.2f} ₺")  # 33.33 ₺

3. Performance — döngüde Fraction yaratma#

# 🚫
for _ in range(1_000_000):
    f = Fraction(1, 3)   # her iter'de yeni nesne — yavaş

# ✅
ONE_THIRD = Fraction(1, 3)
for _ in range(1_000_000):
    f = ONE_THIRD   # reuse

4. Float'la karışık aritmetik#

# Sonuç float'a düşüyor (precision kaybediyor)
result = Fraction(1, 3) + 0.5     # 0.8333333333333333 (float)

# Doğrusu — hep Fraction kal
result = Fraction(1, 3) + Fraction(1, 2)   # 5/6 (Fraction)

# Veya en sonunda dönüştür
result = Fraction(1, 3) + Fraction(1, 2)
final_display = float(result)

5. JSON serialize#

import json

f = Fraction(3, 4)

# Yöntem 1: string
json.dumps({"value": str(f)})   # {"value": "3/4"}

# Yöntem 2: ayrı alan
json.dumps({"num": f.numerator, "den": f.denominator})
# {"num": 3, "den": 4}

# Yöntem 3: float (precision kaybı)
json.dumps({"value": float(f)})   # {"value": 0.75}

Bu derste neler kazandın?#